Vollkommene Zahl

Vollkommene Zahlen

Beitrag MP3 über Euklid.

Eine natürliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie gleich der Summe aller ihrer (positiven) Teiler außer sich selbst ist. Eine äquivalente Definition lautet: Eine vollkommene Zahl ist eine Zahl, die halb so groß ist wie die Summe aller ihrer positiven Teiler (sie selbst eingeschlossen), d. h. . Die kleinsten drei vollkommenen Zahlen sind 6, 28 und 496. Beispiel: Die positiven Teiler von 28 sind 1, 2, 4, 7, 14, 28 und es gilt Alle bekannten vollkommenen Zahlen sind gerade und von Mersenne-Primzahlen abgeleitet. Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Schon in der griechischen Antike waren vollkommene Zahlen bekannt, ihre wichtigsten Eigenschaften wurden in den Elementen des Euklid behandelt. Alle geraden vollkommenen Zahlen enden auf 6 oder 8. Vollkommene Zahlen waren oft Gegenstand zahlenmystischer und numerologischer Deutungen.

Die Teiler-Summe einer Zahl ist notwendigerweise kleiner als, größer als oder gleich . Im ersten Fall ist defizient, im zweiten Fall abundant und im dritten Fall vollkommen.

Im Gegensatz zu defizienten und abundanten Zahlen sind vollkommene Zahlen sehr selten. Bereits Euklid stellte fest, dass sich die ersten vier vollkommenen Zahlen aus dem Term durch Belegen von mit geeigneten Zahlen ergeben:

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Vollkommene Zahlen in Spätantike und Mittelalter.
Boëthius:

Die arithmetischen Eigenschaften vollkommener Zahlen und zuweilen auch ihre arithmologische Deutung gehören in der Spätantike zum arithmetischen Lehrstoff und werden durch Boëthius in dessen Institutio arithmetica, die ihrerseits weitgehend auf Nikomachos von Gerasa beruht, an das lateinische Mittelalter weitergegeben. Seiner griechischen Vorlage folgend behandelt Boëthius die vollkommenen Zahlen (numeri perfecti secundum partium aggregationem) als eine Unterart der geraden Zahlen (numeri pares) und erläutert ihr auf Euklid zurückgehendes Berechnungsprinzip in der Weise, dass die Glieder in der Reihe der gerad-geraden Zahlen (numeri pariter pares: 2ⁿ) miteinander zu addieren sind, bis ihre Summe eine Primzahl ergibt: multipliziert man diese Primzahl mit dem zuletzt addierten Reihenglied, so ergibt sich eine vollkommene Zahl. Boëthius führt diese Berechnungsweise in den einzelnen Schritten vor für die ersten drei vollkommenen Zahlen 6, 28 und 496 und erwähnt auch noch die vierte vollkommene Zahl 8128. Auf diesen Befund stützt sich bei Boëthius auch die ergänzende Beobachtung zur Gesetzmäßigkeit der vollkommenen Zahlen, dass sie in jeder Dekade (Zehnerpotenz) genau einmal aufträten und hierbei in den „Einern“ jeweils auf 6 oder 8 endeten. Die Darlegungen von Boëthius bildeten in den folgenden Jahrhunderten die Summe des arithmetischen Wissens über die vollkommenen Zahlen, die in den Traktaten De arithmetica, in Enzyklopädien wie den Etymologiae Isidors und anderen didaktischen Werken mehr oder minder vollständig, aber ohne wesentliche Ergänzungen weitergereicht wurde, bis mit der Entdeckung der fünften vollkommenen Zahl (33550336) im 15. Jahrhundert erkannt wurde, dass die Annahme über die regelmäßige Verteilung auf die ‚Dekaden‘ unzutreffend ist.

Während Boëthius bei der Behandlung anderer Zahlenarten weitgehend auf den arithmetischen Lehrstoff beschränkt bleibt, bieten ihm die vollkommenen Zahlen Anlass auch für weitergehende, ethische Betrachtungen, bei denen sie den abundanten (plus quam perfecti, auch superflui oder abundantes genannt) und den defizitären Zahlen (inperfecti, auch deminuti oder indigentes genannt) gegenübergestellt werden: Während diese beiden Letzteren Zahlenarten den menschlichen Lastern gleichen, weil sie genau wie diese sehr verbreitet sind und sich keiner bestimmten Ordnung unterwerfen, verhalten sich die vollkommene Zahlen wie die Tugend, indem sie das rechte Maß, die Mitte zwischen Übermaß und Mangel, bewahren, äußerst selten anzutreffen sind und sich einer festen Ordnung unterwerfen. Boëthius deutet zugleich auch eine ästhetische Bevorzugung der vollkommenen Zahlen an, wenn er die abundanten mit Monstren aus der Mythologie wie dem dreiköpfigen Geryon vergleicht, während er die defizienten mit Missgestalten vergleicht, die, wie die einäugigen Zyklopen, durch ein zu wenig an natürlichen Körperteilen charakterisiert sind. Bei diesen Vergleichen, die Boëthius bereits aus seiner griechischen Vorlage übernimmt, steht im Hintergrund die Vorstellung, dass eine Zahl einen aus Gliedern (partes) zusammengesetzten Körper besitzt, sodass nur bei den vollkommenen Zahlen die Glieder der Zahl in einem ausgewogenen Verhältnis zu ihrem Körper stehen.

Bibelexegese.

Ihre eigentliche Bedeutung für die mittelalterliche Tradition entfalteten die vollkommenen Zahlen in der Bibelexegese, wo die Auslegung der sechs Schöpfungstage, an denen Gott die Werke seiner Schöpfung vollendete („consummavit“ in der Vetus Latina, „perfecit“ in der Vulgata des Hieronymus) den Ausgangspunkt bildete, um zwischen der arithmetischen Vollkommenheit der Sechszahl und der Vollkommenheit des göttlichen Schöpfungswerkes eine Verbindung herzustellen. Die Sechszahl wurde in dieser Tradition geradezu ein Paradebeispiel für die Illustrierung der Auffassung, dass die göttliche Schöpfung nach Maß, Zahl und Gewicht geordnet ist. Maßgebend für die lateinische Welt wurde hierbei Augustinus, der seinerseits Ansätze von Vorgängern aus der alexandrinischen Exegese weiterentwickelte. Augustinus hat sich in seinen exegetischen und homiletischen Werken sehr häufig zur Vollkommenheit der Sechszahl geäußert, am ausführlichsten in seinem Kommentar De genesi ad litteram, wo er nicht nur den arithmetischen Sachverhalt erläutert und die theologische Frage erörtert, ob Gott die Sechszahl wegen ihrer Vollkommenheit wählte oder ihr erst durch seine Wahl diese Vollkommenheit verlieh, sondern zusätzlich auch an den Schöpfungswerken demonstriert, dass die Erfüllung der Sechszahl durch ihre Teile (partes) 1, 2 und 3 sich auch an der Beschaffenheit der Schöpfungswerke widerspiegelt und einem latenten ordo der Schöpfung entspricht:

• Der erste Schöpfungstag mit der Erschaffung des Lichts, die für Augustinus zugleich die Erschaffung der himmlischen Intelligenzen impliziert, steht als ein Tag für sich allein.
• Auf ihn folgen die zwei Tage, an denen das Weltgebäude, die fabrica mundi, geschaffen wurde: und zwar am zweiten Schöpfungstag zunächst deren oberer Bereich, das Firmament des Himmels, und am dritten Schöpfungstag der untere Bereich, das trockene Land und das Meer.
• Die letzten drei Tage bilden erneut eine Gruppe für sich, da an ihnen diejenigen Geschöpfe geschaffen wurden, die sich in dieser fabrica mundi bewegen und sie bevölkern und zieren sollten: am vierten Tag zunächst wieder im oberen Bereich die Himmelskörper, Sonne, Mond und Sterne, am fünften Tag dann im unteren Bereich die Tiere des Wassers und der Luft, und am sechsten Tag schließlich die Tiere des Landes und als vollkommenstes Werk zuletzt der Mensch.

Die Vollkommenheit der Sechszahl, die Augustinus zugleich auch als Dreieckszahl anspricht, ergibt sich durch diese sachliche Deutung gleich in zweifacher Weise: einerseits in der Aufeinanderfolge der Tage, andererseits aber auch dadurch, dass das Werk des ersten Tages keinem besonderen oberen oder unteren Bereich zugeordnet ist (hier symbolisiert durch Buchstabe A), die Werke der folgenden Tage dagegen jeweils entweder dem oberen (B) oder dem unteren (C) Bereich angehören, sodass sich auch insofern wieder eine vollkommene Ordnung von 1, 2 und 3 Tagen mit der Verteilung ergibt.

Meist nicht mit dieser detaillierten Deutung des latenten ordo, aber zumindest in der allgemeinen Deutung als arithmetischer numerus perfectus wurde dieses Verständnis des Sechstagewerks zum Gemeingut der mittelalterlichen Exegese und zum Ausgangspunkt für die Deutung auch nahezu aller anderen Vorkommensweisen der Sechszahl in der Bibel und Heilsgeschichte – so unter anderem in der Deutung der aus den Schöpfungstagen abgeleiteten sechs Weltalter (Adam, Noah, Abraham, David, babylonische Gefangenschaft, Christus), die ihrerseits als zwei „vor dem Gesetz“ (ante legem), als drei „unter dem Gesetz“ (sub lege) und als ein Zeitalter der Gnade (sub gratia) gedeutet wurden, in der Deutung der sechs Lebensalter des Menschen und in der Deutung der Karwoche – in der sich am sechsten Tag ab der sechsten Stunde die Passion Christi erfüllt – und vieler anderer biblischer und außerbiblischer Senare mehr.

Dichtung.

Hieran knüpften auch mittelalterliche Dichter zuweilen an, indem sie das arithmetische Verständnis in seiner bibelexegetischen inhaltlichen Prägung für den Aufbau ihrer Werke zugrunde legten. So hat Alkuin ein metrisches Gedicht in sechs Strophen zu sechs Versen an Gundrada, eine Verwandte Karls des Großen, verfasst und in einer beigefügten Prosaerklärung erläutert, dass er die Sechszahl gewählt habe, um so auch die moralische perfectio der Empfängerin zu befördern:

Alkuins Schüler Hrabanus Maurus hat nicht nur auf ähnliche Weise in mehreren kürzeren Gedichten solche Beziehungen zur perfectio der Sechszahl hergestellt, sondern auch in seinem poetischen Hauptwerk, dem Liber de laudibus sanctae crucis, den Gesamtaufbau an der perfectio der 28 ausgerichtet. Dieses Werk besteht aus 28 Figurengedichten (carmina figurata), denen jeweils eine Prosaerklärung und im zweiten Buch eine Paraphrase in Prosa beigefügt ist. Die Figurengedichte selber sind in Hexametern von innerhalb des Gedichtes jeweils gleicher Buchstabenzahl verfasst und werden in den Handschriften ohne Wortabstände geschrieben, sodass der metrische Text jeweils als rechteckiger Block erscheint. Innerhalb dieses Blocks sind dann einzelne Buchstaben farblich und durch Umkreisungen hervorgehoben, die sich ihrerseits wieder zu neuen Texten, sogenannten versus intexti, zusammensetzen lassen. In der Prosaerklärung zur 28. und letzten dieser Figuren weist Hrabanus dann auch auf die Gründe für seine Wahl der Zahl 28 hin:

Wie in moderner Zeit Burkhard Taeger (1972) entdeckt hat, greift das arithmetische Verständnis der Zahl auch noch tiefer in die formale Struktur des Werkes ein. Denn unterteilt man die 28 Figurengedichte nach der Anzahl ihrer Buchstaben pro Vers, so ergibt sich eine Gruppierung von 1, 2, 4, 7 und 14 Gedichten, sodass sich auch in der Binnenstruktur des Werkes die vollkommene Erfüllung der 28 durch ihre partes widerspiegelt.

Belege für poetische Adaptionen des zugrundeliegenden Zahlenverständnisses lassen sich auch im späteren Mittelalter finden, und auch in der bildenden Kunst, wo man in der Regel ohne erklärende Zusätze zum Aufbau der Werke auskommen muss, kann man vermuten, dass etwa die 28 Fresken Giottos über das Leben des Hl. Franziskus in der Oberen Basilika von Assisi durch ihre Zahl die Vollkommenheit des Heiligen und die Christusähnlichkeit seines Lebens besiegeln wollen.

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Die ersten 12 vollkommenen Zahlen:

1. 6
2. 28
3. 496
4. 8.128
5. 33.550.336
6. 8.589.869.056
7. 137.438.691.328
8. 2.305.843.008.139.952.128
9. 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176
10. 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216
11. 13.164.036.458.569.648.337.239.753.460.458.722.910.223.472.318.386.943.117.783.728.128
12. 14.474.011.154.664.524.427.946.373.126.085.988.481.573.677.491.474.835.889.066.354.349.131.199.152.128

Euklid bewies, dass immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn eine Primzahl ist. Dies sind die sogenannten Mersenne-Primzahlen. Fast 2000 Jahre später konnte Leonhard Euler beweisen, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen n erzeugt werden können: Gerade vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen sind einander umkehrbar eindeutig zugeordnet.

Bis zum Januar 2019 waren 51 Mersenne-Primzahlen bekannt; und zwar für folgende Hochzahlen : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1.279, 2.203, 2.281, 3.217, 4.253, 4.423, 9.689, 9.941, 11.213, 19.937, 21.701, 23.209, 44.497, 86.243, 110.503, 132.049, 216.091, 756.839, 859.433, 1.257.787, 1.398.269, 2.976.221, 3.021.377, 6.972.593, 13.466.917, 20.996.011, 24.036.583, 25.964.951, 30.402.457, 32.582.657, 37.156.667, 42.643.801, 43.112.609, 57.885.161, 74.207.281, 77.232.917, 82.589.933.

• Offen ist, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt.
• Offen ist, ob es unendlich viele gerade vollkommene Zahlen gibt. Diese Frage deckt sich mit der Frage, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.
• Offen ist, ob es überhaupt eine ungerade vollkommene Zahl gibt. Falls eine solche Zahl existiert, hat sie folgende Eigenschaften:
  • Sie ist größer als 10¹⁵⁰⁰.
  • Sie hat die Form oder mit einer natürlichen Zahl . (Satz von Jacques Touchard).
  • Sie besitzt mindestens 9 verschiedene Primteiler (Nielsen).
  • Sie besitzt mindestens 12 verschiedene Primteiler, wenn sie nicht durch 3 teilbar ist (Nielsen).^[8]
  • Ist die Anzahl ihrer verschiedenen Primteiler und der kleinste von ihnen, so gilt (Satz von Otto Grün).
  • Sie ist kleiner als , wobei die Anzahl ihrer verschiedenen Primteiler ist (Satz von D. R. Heath-Brown).
    • Sie ist sogar kleiner als (Nielsen).
  • Sollte sie kleiner als 10⁹¹¹⁸ sein, dann ist sie durch teilbar mit einer Primzahl , die größer als 10⁵⁰⁰ ist.
  • Sie ist keine Quadratzahl.
  • Ihr größter Primteiler ist größer als (Goto & Ohno).
  • Ihr zweitgrößter Primteiler ist größer als (Iannucci).
  • Ihr drittgrößter Primteiler ist größer als (Iannucci).
  • Abundant.