Cricho derivative work: Kmhkmh – Eigenes Werk.

Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens, die sich historisch aus Vorstellungen von Größe und Anzahl entwickelten. Durch eine Messung wird ein als Größe verstandener Aspekt einer Beobachtung mit einer Zahl in Verbindung gebracht, beispielsweise bei einer Zählung. Sie spielen daher für die empirischen Wissenschaften eine zentrale Rolle. In der Mathematik, die Zahlen und ihre Struktur formal untersucht, schließt der Begriff verschiedenartige Konzepte mit ein. Diese entwickelten sich als Verallgemeinerungen bestehender intuitiver Zahlkonzepte, so dass man sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet, obwohl sie wenig Bezug zu den ursprünglich mit Messungen verbundenen Konzepten haben. Manche dieser Konzepte sind in der Mathematik von grundlegender Bedeutung und finden Verwendung in nahezu allen Teilgebieten.

Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Um die Menge aller rationalen Zahlen zu bezeichnen, wird das Formelzeichen Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (Unicode U+211A: ℚ) verwendet (von „Quotient“, siehe Buchstabe mit Doppelstrich). Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Die genaue mathematische Definition beruht auf Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen.

Die rationalen Zahlen werden in der Schulmathematik auch Bruchzahlen genannt. Durch die Einführung der Bruchzahlen wird die Division auch dann durchführbar, wenn bspw. der Dividend kleiner ist als der Divisor. Beispielsweise ist die Divisionsaufgabe 3 : 4 = ? innerhalb der natürlichen oder ganzen Zahlen nicht lösbar.

Eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist, wird als irrationale Zahl bezeichnet. Dazu gehören etwa 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , π {\displaystyle \pi } , e {\displaystyle \mathrm {e} } und Φ {\displaystyle \Phi } . Die Dezimalbruchentwicklung einer irrationalen Zahl ist nicht periodisch.

Da die rationalen Zahlen eine abzählbare Menge bilden, die reellen Zahlen jedoch eine überabzählbare Menge, sind „fast alle“ reellen Zahlen irrational.[2]

In die Urgeschichte zurückreicht das Konzept der natürlichen Zahlen, die zum Zählen verwendet werden können und grundlegende Bedeutung besitzen. Bereits die Neandertaler schufen vor ca. 68.000 Jahren in Höhlen abstrakte Zahldarstellungen (zwei senkrechte Striche bzw. rot markierte Finger von Stalagmiten-Händen).

Ab etwa 2000 v. Chr. rechneten Ägypter und Babylonier mit Bruchzahlen (rationalen Zahlen).

In Indien entwickelte sich im 7. Jh. n. Chr. ein Verständnis der Null und der negativen Zahlen.[3] Irrationale Zahlen wie {\displaystyle {\sqrt {2}}} oder {\displaystyle {\sqrt {5}}}, deren Notwendigkeit sich aus Erkenntnissen aus dem antiken Griechenland ergab (spätestens ab dem 4. Jh. v. Chr.), wurden in der Blütezeit des Islam eingeführt.

Die Idee imaginärer Zahlen, durch die die reellen Zahlen später zu den bedeutenden komplexen Zahlen erweitert wurden, reicht in die europäische Renaissance zurück. Der Begriff der reellen Zahl konnte erst im 19. Jahrhundert hinreichend geklärt werden. Ende des 19. Jh. konnte erstmals auch unendlichen Größen ein präziser Sinn als Zahlen gegeben werden. Auch wurden erstmals die natürlichen Zahlen axiomatisch definiert. Mit Anfang des 20. Jh. geschaffenen ersten zufriedenstellenden Grundlagen der Mathematik erfuhren auch die bedeutendsten Zahlbegriffe eine dem heutigen Stand entsprechende vollständig formale Definition und Bedeutung.

Vom Begriff der Zahl abzugrenzen, sind Ziffern (spezielle Zahlzeichen; zur Darstellung bestimmter Zahlen verwendete Schriftzeichen), Zahlschriften (Schreibweisen von Zahlen z. B. mit Hilfe von Ziffern unter Verwendung bestimmter Regeln), Zahlwörter (Numerale, zur Benennung bestimmter Zahlen verwendete Wörter) und Nummern (Identifikatoren, die selbst Zahlen, oder aber – in der Regel Ziffern enthaltende – Zeichenketten sein können) – mehr erfahren im Wikipedia.

Zuvor aber wollen wir einige bekannte Zahlenfolgen aus der Mathematik vorstellen und beschreiben.

1. Folge der natürlichen Zahlen:

1, 2, 3, 4, ….                                             nächste Zahl: 5

2. Folge der geraden Zahlen:
2, 4, 6, 8, ….                                           nächste Zahl: 10

3. Folge der ungeraden Zahlen:
1, 3, 5, 7, ….                                             nächste Zahl: 9

4. Folge der Quadratzahlen:
1, 4, 9, 16, …                                           nächste Zahl: 25

5. Folge der Primzahlen:
1, 2, 3, 5, 7, …                                       nächste Zahl: 11

6. Abstandszahlen:
1, 2, 4, 7, 11, 16,                                   nächste Zahl: 22
hier nehmen die Abstände zwischen den Zahlen jeweils um 1 zu.

7. Fibonaccizahlen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, …                                   nächste Zahl: 13
Bei der berühmten Fibonaccifolge ergeben sich die folgenden Zahlen jeweils aus der Summe der beiden vorigen Zahlen. Das interessante ist, daß sich der Quotient zweier aufeinanderfolgenden Zahlen immer mehr dem Wert 1,61.. nähert, welches die Maßzahl für den ‚goldenen Schnitt’ ist, der in Kunst und Architektur als Messwert für eine dem Schönheitsideal entsprechende Aufteilung ist.

8. Dreiecks- Quadratzahlen:
1, 3, 6, 10, 15, …                                   nächste Zahl: 21
Die n-te Zahl ergibt sich jeweils aus der Summe der Zahlen von 1 bis n.
D.h. die 5. Zahl ist 1+2+3+4 +5 = 15.
(Diese entsprechen auch dem Binomialkoeffizienten n über 2)

9. Platonische Körper wie Tetraederzahlen usw.:
1, 4, 10, 20, …                                       nächste Zahl: 35
Die n-te Zahl ergibt sich aus der Summe der ersten n Dreieckszahlen.

(Diese entsprechen auch dem Binomialkoeffizienten n über 3)

Archimedische Körper:

10. Fakultäten:

1, 2, 6, 24, 120, …                                 nächste Zahl: 720

Die n-te Zahl ergibt sich aus der Multiplikation der ersten n Zahlen

Z.B. die 5. Zahl ist 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

11. Oktave.

Die Oktave (Einheitenzeichen oct) ist eine Hilfsmaßeinheit, die in der Musik, Akustik und Hochfrequenztechnik verwendet wird. Sie fungiert als Hinweiswort, das bei dual- bzw. binär logarithmischer Darstellung von Frequenzintervallen auf das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2:1 verweist. Der Name stammt aus der Musik, wo dieses Frequenzintervall Oktave (lat. octo = acht) genannt wird, weil es den Abstand des achten Tons einer diatonischen Tonleiter von ihrem Grundton bezeichnet.

Zu einem Frequenzintervall von i {\displaystyle i} Oktaven gehört das Frequenzverhältnis:

f 2 f 1 = 2 i {\displaystyle {\frac {f_{2}}{f_{1}}}=2^{i}} (mit f 2 ≥ f 1 {\displaystyle f_{2}\geq f_{1}} )
⇔ i = log 2 ⁡ f 2 f 1 = lb ⁡ f 2 f 1 = lb ⁡ f 2 f 1 oct = lb ⁡ f 2 f 1 Oktave(n) {\displaystyle \Leftrightarrow i=\log _{2}{\frac {f_{2}}{f_{1}}}=\operatorname {lb} {\frac {f_{2}}{f_{1}}}=\operatorname {lb} {\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,{\text{oct}}=\operatorname {lb} {\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,{\text{Oktave(n)}}} [5]

Nach Umrechnung des Zweier- in einen Zehnerlogarithmus wird hieraus:

⇔ i = 1 lg 2 ⋅ lg f 2 f 1 oct ≈ 3,321 9 ⋅ lg f 2 f 1 oct {\displaystyle {\begin{aligned}\Leftrightarrow i&={\frac {1}{\lg \,2}}\cdot \lg \,{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,\,{\text{oct}}\\&\approx 3{,}3219\cdot \lg \,{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,\,{\text{oct}}\end{aligned}}}

Eine Untereinheit der Oktave ist das Cent: 1 Cent = 1 1200 Oktave {\displaystyle 1\,{\text{Cent}}={\frac {1}{1200}}\,{\text{Oktave}}}

Verwendung:

Die Maßeinheit Oktave wird in der Hochfrequenztechnik verwendet, wenn eine Bandbreite von der Frequenz abhängt und die genauen Grenzfrequenzen entweder variabel oder ohne Bedeutung sind. Eine bestimmte Baugruppe, die eine Bandbreite von 1 Oktave umfasst, kann also beispielsweise eingesetzt werden in den Frequenzbereichen.

  • 1 bis 2 GHz oder
  • 6,2 bis 12,4 GHz.

Die Angabe von Frequenzbereichen in Oktaven ist besonders in der Antennentechnik weit verbreitet, speziell bei Hornstrahlern.

12. Bruchzahlen:

Der Bruch 3⁄4 beispielsweise stellt dar:

  1. die Division 3 : 4 (3 verteilt auf 4, 3 aufgeteilt auf 4, 3 eingeteilt in 4er, 3 geteilt in 4 (gleiche) Teile, 3 dividiert durch 4),
  2. das Ergebnis der Division als eigene (Bruch-)Zahl 3⁄4 (drei Viertel),
  3. den Auftrag: „Teile in 4 Teile, nimm 3“ (drei von vier (Teilen)).

Die Begriffe gewöhnlicher Bruch, Stammbruch, echter Bruch, I, unechter Bruch, I, gekürzter Bruch, erweiterter Bruch, Dezimalbruch, Binärbruch … werden dagegen für besondere Schreibweisen oder Formen von rationalen Zahlen verwendet. Die Dezimalbruchentwicklung einer rationalen Zahl ist periodisch.

13. Formeln:


Albert Einstein: „Nicht alles, was man zählen kann, zählt auch!

…. doch Gott würfelt nicht!