Geometrie – 2D – 3D – HEILIG weil GANZ.

Schon im 4. Jahrhundert v. Chr. führten Aristoteles und Aristoxenos die Anfänge der Mathematik bei den Griechen auf die Pythagoreer bzw. Pythagoras zurück. In der Spätantike und im Mittelalter war die Überzeugung allgemein verbreitet, Pythagoras sei der Begründer der Mathematik gewesen. Damit war auch die Geometrie gemeint, der für die antiken Griechen wichtigste Teil der Mathematik. Dazu passte die Überlieferung vom Aufenthalt des Pythagoras in Ägypten, denn schon Herodot war überzeugt, die Geometrie stamme ursprünglich aus Ägypten, sie sei ein Ergebnis der Notwendigkeit stets neuer Landvermessung nach den regelmäßigen Nilüberschwemmungen gewesen. Schon Isokrates nahm an, Pythagoras habe seine Mathematik und Astronomie den Ägyptern zu verdanken. Ferner galt Pythagoras auch als Vermittler mathematischen Wissens der Babylonier, denn man ging davon aus, dass er sich in seiner Jugend in Babylon aufgehalten hatte. Im Anschluss an diese Tradition ist bis in die Gegenwart die Ansicht verbreitet, die Mathematik habe von Pythagoras und den Pythagoreern wesentliche Impulse erhalten. Auch ein beträchtlicher Teil der Wissenschaftshistoriker stimmt dem zu. Seit dem frühen 20. Jahrhundert würdigt die Forschung aber auch die griechische Mathematik, die sich unabhängig von der pythagoreischen Tradition entwickelt hat.

Die Einzelheiten sind umstritten, auch die Rolle des Pythagoras als Vermittler ägyptischen und orientalischen Wissens. Zhmud hält die Berichte von den Studienreisen nach Ägypten und Babylon für unhistorisch. Überdies weist er darauf hin, dass Griechen damals keine Fremdsprachen zu erlernen pflegten und dass es für Pythagoras äußerst schwierig gewesen wäre, sich Kenntnisse der akkadischen und der ägyptischen Sprache sowie der Hieroglyphen bzw. Keilschrift anzueignen und dann auch noch Fachliteratur zu verstehen. Daher betrachtet Zhmud die mathematischen Erkenntnisse des Pythagoras als dessen selbständige Leistungen. Die oft mit dem Pythagoreismus gleichgesetzte spekulative Zahlenlehre oder „Zahlenmystik“ mit dem Grundsatz „Alles ist Zahl“ existierte nach Zhmuds Ansicht in der frühpythagoreischen Zeit noch nicht, vielmehr gab erst der Platonismus den Anstoß zu ihrer Entstehung.

Auf dem entgegengesetzten Standpunkt steht Burkert mit seiner Schamanismusthese. Seine Argumentation lautet folgendermaßen: Es gibt keinen Beleg dafür, dass Pythagoras auch nur einen einzigen Beitrag zur Arithmetik oder zur Geometrie geleistet hat. Sein Interesse galt nicht der Mathematik als einer mit Quantitäten befassten, rechnenden und beweisenden Wissenschaft, sondern er betrachtete Zahlen unter qualitativen Gesichtspunkten. Dabei ging es ihm darum, verschiedenen Zahlen im Sinne einer Zahlensymbolik bestimmte nichtmathematische Eigenschaften wie „männlich“ und „Grenze bildend“ (für die ungeraden Zahlen), „weiblich“ und „unbegrenzt“ (für die geraden), „gerecht“ oder „jungfräulich“ zuzuweisen und so ein Ordnungsprinzip für seine Kosmologie zu gewinnen. Diese Herangehensweise, bei der es nicht um Quantität geht, sondern um die Ordnung des Kosmos und um qualitative Entsprechungen zwischen dessen Bestandteilen, vergleicht Burkert mit der chinesischen Auffassung von Yin und Yang. Ebenso wie in der pythagoreischen Zahlenlehre ist in der chinesischen der Urgegensatz von geraden und ungeraden Zahlen grundlegend und werden die ungeraden Zahlen als männlich angesehen. Die in diesem spekulativen, kosmologischen Sinn verstandene Aussage „Alles ist Zahl“ war nach der Deutung der Schamanismusthese ein Kernbestandteil von Pythagoras’ Weltbild.

Der Gegensatz zwischen den beiden Forschungsrichtungen zeigt sich auch in einzelnen umstrittenen Punkten:

Pythagoras gilt traditionell als der Entdecker des als Satz des Pythagoras bekannten Lehrsatzes der Euklidischen Geometrie über das rechtwinklige Dreieck. Dieser Satz war schon Jahrhunderte vor Pythagoras den Babyloniern bekannt. Ob sie aber einen Beweis für den Satz kannten, ist unbekannt. Zhmud meint, Pythagoras habe einen Beweis gefunden, während Burkert im Sinne der Schamanismusthese argumentiert, dafür gebe es keinen Beleg und Pythagoras habe sich für mathematische Beweisführung gar nicht interessiert.

Ein Schüler des Pythagoras, Hippasos von Metapont, soll als erster die Konstruktion des einer Kugel einbeschriebenen Dodekaeders gefunden und auch erkannt haben, dass gewisse geometrische Größen (wie das Verhältnis von Diagonale und Seite eines Quadrats) nicht durch ganzzahlige Zahlverhältnisse ausdrückbar sind (Inkommensurabilität). Eine späte Überlieferung behauptet, Hippasos habe diese Entdeckungen veröffentlicht und damit aus der Sicht der Pythagoreer Geheimnisverrat begangen. Daraufhin sei er aus der Gemeinschaft ausgeschlossen worden und bei einem Schiffbruch umgekommen, was als göttliche Strafe zu deuten sei. Die ältere Forschung interpretierte dies als „Grundlagenkrise“ des Pythagoreismus: Hippasos habe die Grundlage der pythagoreischen Mathematik zerstört, die besagte, alle Phänomene seien als Erscheinungsformen ganzzahliger Zahlverhältnisse erklärbar. Die Pythagoreer seien durch seine Entdeckung der mathematischen Irrationalität in eine schwere Krise gestürzt worden; angesichts dessen hätten sie Hippasos ausgeschlossen und seinen Tod als göttliche Strafe gedeutet. Diese Ansicht wird sowohl von Burkert als auch von Zhmud abgelehnt, aber aus unterschiedlichen Gründen. Burkert meint, dass die Bewältigung der Irrationalität schrittweise erfolgte und keine Erschütterung der pythagoreischen Zahlenlehre bewirkte, da diese nicht von dem Axiom ausging, alle Größen seien kommensurabel. Zhmud sieht in Hippasos den tatsächlichen Entdecker der Irrationalität, meint aber, dass das Zerwürfnis zwischen Hippasos und Pythagoras damit nichts zu tun hatte und von einem Geheimnisverrat keine Rede sein kann, sondern der Gegensatz der beiden rein politisch war.
Zu den Errungenschaften, die man Pythagoras zugeschrieben hat, gehört die Begründung der Proportionentheorie; er soll den Begriff lógos im mathematischen Sinn von „Proportion“ eingeführt haben. Diese ältere Forschungsmeinung wird weiterhin von den Befürwortern der Wissenschaftsthese vertreten. Als spezifisch pythagoreische Neuerung bezeichnen die antiken Quellen insbesondere die Lehre von den drei Mitteln (arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel). Die Mittel kamen möglicherweise bereits in babylonischen Rechenregeln vor, doch kannten die Babylonier den Begriff der Proportion nicht. Die Beweisführung und Terminologie kann somit eine Errungenschaft des Pythagoras oder der Pythagoreer sein. Dagegen wendet Burkert ein, es sei nicht erwiesen, dass Pythagoras eine Proportionentheorie begründete. Er argumentiert, dass das Proportionsrechnen schon Anaximander bekannt war, der die Welt als ihrem Wesen nach geometrisch auffasste und mit mathematischen Proportionen erklärte. Zwar hätten die Pythagoreer bei der Entwicklung der Mittellehre anscheinend eine Rolle gespielt, doch sei unklar, wann und durch wen dies geschehen sei.

Ein Hauptelement der frühen pythagoreischen Zahlenlehre war die Tetraktys („Vierheit“), die Gruppe der Zahlen 1, 2, 3 und 4, deren Summe die 10 ergibt, die bei Griechen und „Barbaren“ (Nichtgriechen) gleichermaßen als Grundzahl des Dezimalsystems diente. Die Vier wurde neben der „vollkommenen“ Zehn im Pythagoreismus als für die Weltordnung grundlegende Zahl betrachtet. Möglicherweise spielten sie damit auf: Das Eine (altgriechisch τὸ ἕν to hen, lateinisch unum), Dyade (altgriechisch dýas „Zweiheit“), Trias (von altgriechisch tri „drei“: „Dreiheit“) und die Tetraktys (griechisch τετρακτύς (τετραχῇ) tetraktýs „Vierheit“ oder „Vierergruppe“) an.

Das Siebeneck nach Archimedes ist eine Weiterführung der sogenannten Konstruktion von Archimedes, ein in der Fachwelt allgemein bekannter Ansatz zur Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks. Das Siebeneck nach Archimedes ist wie jedes regelmäßige Siebeneck nicht allein mit den klassischen Hilfsmitteln Zirkel und unmarkiertem Lineal exakt darstellbar, wohl aber mit einem Hilfsmittel zur Dreiteilung des Winkels, zum Beispiel einem markierten Lineal (siehe Siebeneck als Neusis-Konstruktion). Archimedes (287–212 v. Chr.) veröffentlichte die Konstruktion in seinem Werk „Siebeneck im Kreise“. Das in griechischer Sprache verfasste Buch ging aber, der Überlieferung von arabischen Gelehrten zufolge, verloren. Erst rund 1100 Jahre später, sprich im 9. Jahrhundert, hat Thabit ibn Qurra (826–901)^{[A 1]} das Werk von Archimedes ins Arabische übersetzt und somit den Beweis der Konstruktion von Archimedes für die Nachwelt erhalten (s. Abschnitt Beweis). Letztendlich vergingen nochmals rund 1100 Jahre, bis Carl Schoy (1877–1925) das Buch des Archimedes, das davon handelt, den Kreis in 7 gleiche Teile zu teilen, ins Deutsche übersetzte.

Flächenberechnungen:

Archimedes bewies, dass sich der Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Er nannte dieses (heute als Pi oder Kreiszahl bezeichnete) Verhältnis noch nicht π (Pi), gab aber eine Anleitung, wie man sich dem Verhältnis bis zu einer beliebig hohen Genauigkeit nähern kann, vermutlich das älteste numerische Verfahren der Geschichte. Mit seinen Überlegungen zur Flächen- und Volumenberechnung (u. a. mit einer exakten Quadratur der Parabel) nahm Archimedes Ideen der Integralrechnung viel später folgender Denker vorweg. Er ging dabei über die Eudoxos von Knidos zugeschriebene Exhaustionsmethode (Ausschöpfungsmethode) hinaus; beispielsweise wandte er bereits eine Form des Prinzips von Cavalieri an.

1906 fand Johan Ludvig Heiberg (1854–1928), ein dänischer Philologe und Professor an der Universität Kopenhagen, in Istanbul ein auf das 10. Jahrhundert datiertes Manuskript, das unter anderem eine Abschrift von Archimedes’ Schrift Die Methode enthielt. Darin gibt er eine mechanische Methode preis, mit der er viele seiner Resultate erzielt hatte, bevor er sie in geometrisch strenger Weise bewies. Die Methode entspricht einem Wiegen der zu vergleichenden Volumina bzw. Flächenstücke, allerdings in geometrischer Form. Bei seiner Beschreibung erwähnt Archimedes auch ein älteres Verfahren von Demokrit, bei dem es sich möglicherweise um das Wiegen von Modellen handelt.

Fullerene:

Fullerene (Einzahl: das Fulleren) werden hohle, geschlossene Moleküle (mit häufig hoher Symmetrie, z. B. I_h-Symmetrie für C₆₀) aus Kohlenstoffatomen, die sich in Fünf- und Sechsecken anordnen, bezeichnet. Sie stellen (neben Diamant, Graphit, Lonsdaleit, Chaoit, Kohlenstoffnanoröhren und Graphen) eine weitere Modifikation des chemischen Elements Kohlenstoff dar.

Die erste Veröffentlichung zu Fullerenen erfolgte bereits im Jahr 1970 von dem japanischen Chemiker Eiji Ōsawa, der ihre Existenz theoretisch vorhersagte und berechnete. Diese und folgende seiner Publikationen veröffentlichte er in japanischer Sprache, weswegen erst die 15 Jahre später am 14. November 1985 in der Zeitschrift Natur erschienene Publikation der Forscher Robert F. Curl Jr. (USA), Sir Harold W. Kroto (England) und Richard E. Smalley (USA) weltweite Aufmerksamkeit erlangte. Diese erhielten dafür 1996 den Nobelpreis für Chemie, während Osawa unberücksichtigt blieb.

Vor diesen Veröffentlichungen zu Fullerenen gab es einige zu „Hohlmolekülen“, beispielsweise einen Artikel von David Jones im New Scientist 1966, nachgedruckt auch im Buch „Zittergas und schräges Wasser“ (S. 27 f.), mit Rechnungen zur Stabilität von Hohlmolekülen, wobei die damals größten bekannten Moleküle nur Dodekaeder-Form hatten, also nur 20 Atome enthielten.

2010 wurden Fullerene durch Infrarotaufnahmen des Weltraumteleskops Spitzer im planetarischen Nebel Tc 1 nachgewiesen. Sie sind die größten nachgewiesenen Moleküle im extraterrestrischen Weltraum. Die bekanntesten und stabilsten Vertreter der Fullerene haben die Summenformeln C₆₀, C₇₀, C₇₆, C₈₀, C₈₂, C₈₄, C₈₆, C₉₀ und C₉₄. Das mit Abstand am besten erforschte Fulleren ist C₆₀, das zu Ehren des Architekten Richard Buckminster Fuller Buckminster-Fulleren (auf Englisch auch buckyball) genannt wurde, da es den von ihm konstruierten geodätischen Kuppeln ähnelt. Es besteht aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken, die zusammen ein Abgestumpftes Ikosaeder (Archimedischer Körper) bilden. Da ein klassischer Fußball dieselbe Struktur hat, wird es auch Fußballmolekül (footballen) genannt.

Platonischen Körper.

Die fünf platonischen Körper	Tetraeder	Hexaeder	Oktaeder	Dodekaeder	Ikosaeder


Art der Seitenflächen	gleichseitige Dreiecke	Quadrate	gleichseitige Dreiecke	regelmäßige Fünfecke	gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Ecken/Kanten einer Fläche	3	4	3	5	3
Anzahl der Flächen/Kanten in einer Ecke	3	3	4	3	5
Anzahl der Flächen	4	6	8	12	20
Anzahl der Kanten	6	12	12	30	30
Anzahl der Ecken	4	8	6	20	12
Körpernetz, die Abbildungen zeigen je ein Beispiel aus mehreren möglichen Netzen
Anzahl verschiedener Körpernetze	2	11	11	43380	43380
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	${\frac {2}{9\pi }}{\sqrt {3}}$ ≈ 12,25 %	${\frac {2}{3\pi }}{\sqrt {3}}$ ≈ 36,76 %	${\frac {1}{\pi }}$ ≈ 31,83 %	${\frac {\sqrt {15}}{6\pi }}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$ ≈ 66,49 %	${\frac {\sqrt {2}}{2\pi }}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}$ ≈ 60,55 %
dual zu	Tetraeder	Oktaeder	Hexaeder	Ikosaeder	Dodekaeder
Schläfli-Symbol	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}

Die Platonischen Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon) sind die Polyeder mit größtmöglicher Symmetrie. Jeder von ihnen wird von mehreren deckungsgleichen (kongruenten) ebenen regelmäßigen Vielecken begrenzt. Eine andere Bezeichnung ist reguläre Körper (von lat. corpora regularia).

Es gibt fünf platonische Körper. Ihre Namen enthalten die griechisch ausgedrückte Zahl ihrer begrenzenden Flächen und eher als Abwandlung des griechischen Wortes ἕδρα (hedra) (s. auch Polyeder), deutsch (Sitz-)Fläche.

Tetraeder (Vierflächner, Oberfläche aus vier Dreiecken)
Hexaeder (Sechsflächner, Oberfläche aus sechs Quadraten) – der Würfel
Oktaeder (Achtflächner, Oberfläche aus acht Dreiecken)
Dodekaeder (Zwölfflächner, Oberfläche aus zwölf Fünfecken) – auch Pentagondodekaeder genannt, um auf die Oberfläche aus Fünfecken als seine Besonderheit hinzuweisen
Ikosaeder (Zwanzigflächner, Oberfläche aus zwanzig Dreiecken)

Die Platonischen Körper sind konvex. In jeder Ecke des Körpers treffen jeweils gleich viele gleich lange Kanten zusammen, an jeder Kante treffen sich zwei deckungsgleiche Flächen, und jede Fläche hat gleich viele Ecken. Es ist also nicht möglich, irgendwelche zwei Körperecken, Kanten und Flächen aufgrund von Beziehungen zu anderen Punkten des Polyeders voneinander zu unterscheiden.

Verzichtet man auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kanten, spricht man von archimedischen Körpern. Verzichtet man dagegen auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kanten, spricht man von catalanischen Körpern. Verzichtet man auf die Konvexität, spricht man von regulären Polyedern und schließt damit die Kepler-Poinsot-Körper ein.

Weitere Eigenschaften:
Dualität:

Zu jedem konvexen Polyeder lässt sich ein Dualkörper konstruieren. Bei platonischen Körpern erhält man diesen, indem man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen miteinander verbindet. Duale Körper im engeren Sinne haben dieselbe Kantenkugel. Einander entsprechende Kanten der dualen Körper schneiden sich in einem rechten Winkel in dem Punkt, in dem sie die Kantenkugel berühren.

Somit hat das duale Polyeder genauso viele Ecken, wie das Ausgangspolyeder Flächen hat. Der Dualkörper hat zudem genauso viele Flächen, wie der Ausgangskörper Ecken hat. Letzteres kann man sich räumlich so vorstellen, dass jede („vergrößerte“) Fläche des Dualkörpers eine Ecke des Ausgangskörper abschneidet. Drittens gilt, dass das Dualpolyeder und sein Ausgangspolyeder die gleiche Anzahl an Kanten haben. Dies lässt sich ebenfalls aus obiger Konstruktion ablesen: Zwei „benachbarte Seitenflächen“ bilden gemeinsam eine Kante des Ausgangspolyeders, und die „Verbindung der zwei Mittelpunkte“ dieser benachbarten Seitenflächen stellt eine Kante des Dualkörpers dar. Man spricht deshalb auch von dimensionsumkehrender Dualität. Und die Inversion des Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polyeder.

Bei den platonischen Körpern, als Untergruppe der konvexen Polyeder, gibt es bezüglich deren Dualkörper noch folgende Besonderheiten: Erstens haben hier Ausgangs- und Dualkörper denselben geometrischen Schwerpunkt. Zweitens ist der Dualköper eines platonischen Körpers auch selbst ein platonischer Körper. Dabei bilden Hexaeder (Würfel) und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder jeweils ein duales Paar. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, wobei sich jedoch das duale Tetraeder in (verkleinerter) zentralsymmetrischer Lage befindet, d. h., es „steht auf dem Kopf“. Drittens: Wiederholt man obige Konstruktion und konstruiert den dualen Körper zum Dualkörper, so erhält man einen „verkleinerten“ Ausgangskörper – also einen platonischen Körper, der durch Zentrische Streckung in den Ausgangskörper überführt werden kann. Beide haben somit denselben Schwerpunkt.

Zwei ineinander gesteckte zueinander duale Tetraeder, die ein Sterntetraeder bilden
Ineinander gestecktes Hexaeder (Würfel) und Oktaeder, die dual zueinander sind
Ineinander gestecktes Dodekaeder und Ikosaeder, die dual zueinander sind

Symmetrie:

Die platonischen Körper zeigen größtmögliche Symmetrie:

Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig, d. h., jede Ecke (Kante, Fläche) kann durch eine Kongruenzabbildung des Körpers auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden.

Man sagt dazu:

Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Ecken (wie auch auf den Kanten und Flächen).

Es gilt sogar:

Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Fahnen. (Eine Fahne ist eine Ecke auf einer Kante auf einer Fläche.)

Die fünf platonischen Körper sind daher reguläre Polyeder. Die bei ihnen auftretenden Symmetriegruppen (und ihre Untergruppen) gehören zu den diskreten Punktgruppen. Duale platonische Körper haben dieselbe Symmetriegruppe. Das ist die Basis für die Konstruktion zahlreicher anderer Körper (z. B. der archimedischen Körper). Es gibt also nicht fünf, sondern nur drei dieser Gruppen: die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe. Sie spielen in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik eine Rolle.

Aufgrund ihrer Symmetrie haben homogen gefertigte Modelle platonischer Körper die Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können. Die meisten Spielwürfel sind übrigens aufgrund der Vertiefungen für die Augenzahlen nicht absolut perfekt symmetrisch.

Deltaeder:

Da Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder auch zu den konvexen Deltaedern gehören, gehört aus jeder Symmetriegruppe ein Körper zu den Deltaedern.

Berührende Kugeln

Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat

eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und
eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie
eine Kantenkugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen.

Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt (das Zentrum) des platonischen Körpers.

Mathematische Eigenschaften:
Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre

Projiziert man die Kanten eines platonischen Körpers aus dem Mittelpunkt auf eine Kugel mit demselben Mittelpunkt (z. B. auf die Umkugel), so erhält man eine Parkettierung der Kugeloberfläche durch zueinander kongruente regelmäßige sphärische Vielecke, wobei in jeder Ecke gleich viele Kanten (unter gleichen Winkeln) zusammentreffen. Diese Parkettierungen haben dieselben Symmetrien wie der Ausgangskörper. Insbesondere sind sie ebenfalls fahnentransitiv. Es sind die fünf regulären Parkettierungen der Sphäre, zwischen denen dieselben Dualitätsbeziehungen bestehen wie zwischen den Körpern. (In anderem Zusammenhang spricht man auch von Landkarten und dualen Landkarten.)

Reguläre Parkettierungen der Ebene:

Jede reguläre Parkettierung kann durch ein Paar Das sind alle Lösungen der Ungleichung

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}\left(p,q\in \mathbb {N} \right)

Diese Beziehung folgt aus dem eulerschen Polyedersatz, der die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten zueinander in Bezug stellt:

Flächen + Ecken = Kanten + 2, wobei die Konstante 2 für die Sphäre charakteristisch ist.

In der Ebene gilt (bei geeigneter Interpretation, nämlich asymptotischer)

Flächen + Ecken = Kanten

oder

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}\left(p,q\in \mathbb {N} \right)

mit den Lösungen, die für die drei platonischen Parkettierungen der Ebene (durch Quadrate, Dreiecke und Sechsecke) stehen, die Verallgemeinerungen der platonischen Körper darstellen.

Die Lösungen von

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}\ (p,q\in \mathbb {N} )

liefern die regulären Parkettierungen der hyperbolischen Ebene.

Aus den platonischen Körpern abgeleitete Polyeder:

Wegen der starken Regelmäßigkeit der platonischen Körper kann man leicht andere Körper von ihnen ableiten, die auch wieder sehr regelmäßig sind. Man muss dazu nur die gleichen Konstruktionen symmetrisch auf Flächen, Kanten oder Ecken anwenden. Ein Beispiel dafür sind die dualen Körper, die sich dadurch ergeben, dass man den Mittelpunkt jeder Fläche mit den Mittelpunkten der angrenzenden Flächen verbindet.

Einbeschreibungen

Es bestehen durchaus noch andere Möglichkeiten, einen platonischen Körper in einen anderen einzubauen.

Würfel und Dodekaeder.

Zum Beispiel erhält man ein Tetraeder, wenn man die Diagonale einer Würfelfläche als eine Kante verwendet, die dazu windschiefe Diagonale auf der gegenüberliegende Fläche als eine andere, und als die anderen vier Kanten die Diagonalen benutzt, die die Enden der beiden verbinden.

Ein Oktaeder erhält man, wenn man Flächen durch die Mittelpunkte der Kanten eines Tetraeders legt.

Aus einem Würfel erhält man ein Dodekaeder, wenn man auf jede Seitenfläche ein geeignetes Walmdach aufsetzt; umgekehrt erhält man durch eine passende Auswahl von Flächendiagonalen auf einem Dodekaeder den Würfel zurück:

Abgestumpfte platonische Körper:
Werden auch Archimedische Körper genannt.

Die Originalarbeit des Archimedes ist nicht erhalten geblieben. Allerdings existiert noch eine Schrift des Mathematikers Pappos (ca. 290–350 n. Chr.), in der erwähnt wird, dass Archimedes die 13 archimedischen Körper beschrieb. Wenn man von einem platonischen Körper ausgehend ein abgestumpftes Polyeder erzeugt, indem man seine Ecken so abschneidet, dass danach alle Kanten gleich lang sind, so erhält man einen halbregulären (archimedischen) Körper. Dieser Körper entsteht auch als Schnitt des platonischen Körpers mit seinem passend vergrößerten Dualkörper.

Tetraederstumpf
Hexaederstumpf
Oktaederstumpf
Dodekaederstumpf
Ikosaederstumpf (Fußballkörper) oder Fullerene. Archimedische Körper sind Beispiele für ziemlich regelmäßige Körper, bei denen Polygone verwendet werden, die zwar regelmäßig, aber von unterschiedlicher Seitenzahl sind.

Archimedische Schraube: Archimedische Schraube – Hauptartikel: Archimedische Schraube.

Archimedes wird die Erfindung der sogenannten archimedischen Schraube zugeschrieben, zu der er angeregt wurde, nachdem er bei seinem Studienaufenthalt in Ägypten die dortigen einfachen Vorrichtungen zur Feldbewässerung gesehen hatte. Das Prinzip der archimedischen Schraube kommt heutzutage in modernen Förderanlagen, sogenannten Schneckenförderern, zum Einsatz. Möglicherweise wurde sie von Archimedes als Lenzpumpe für Schiffe entwickelt, denn nach Athenäus von Naukratis beauftragte König Hieron Archimedes mit dem Bau des größten Schiffs der damaligen Zeit, der Syracusia.

Sternkörper.

Baut man Pyramiden auf den Seitenflächen auf, anstatt abzuschneiden, erhält man Sternkörper, wie das Sterntetraeder. Verwendet man für die Pyramiden gleichseitige Dreiecke, hat man Beispiele für Polyeder, die vollständig aus gleichen Polygonen bestehen, bei denen aber unterschiedlich viele in den Ecken zusammenstoßen.

Graphentheoretische Eigenschaften:
Netze.

Platonische Körper haben wie alle Polyeder verschiedene Netze (siehe Übersicht oben). Es gibt nämlich verschiedene Möglichkeiten, ein hohles Polyeder durch Aufschneiden von einigen Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Ist $K$ die Anzahl der Kanten und $F$ die Anzahl der Flächen des Polyeders, dann entsteht durch Aufschneiden von Kanten ein Körpernetz. Die Ecken liegen dabei offensichtlich auf dem Rand des Netzes.

Die anderen Kanten verbinden jeweils die regelmäßigen Polygone des Netzes.Jeder platonische Körper hat wie jedes konvexe Polyeder einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen. Dieser Graph ist regulär ist, denn von jedem Knoten gehen ${\tfrac {2\cdot K}{E}}$ Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich ${\tfrac {2\cdot K}{E}}$ ist, wobei die Anzahl der Knoten ist. Der Knotengrad ist gleich der Anzahl der Flächen (und Kanten), die in jeder Ecke des platonischen Körpers zusammentrifft. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Graphen entsprechen den Ecken des Polyeders.

Die $K-F+1$ aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Graphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Körpernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einen Baum mit $F-1$ Kanten und dem maximalen Knotengrad ${\tfrac {2\cdot K}{F}}$ . Jede Fläche des platonische Körpers wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Diese Betrachtungen hängen mit dem Eulerschen Polyedersatz zusammen.

Duale Graphen und Färbungen:

Kantenfärbung des Dodekaeders

Dodekaedergraph mit dualem Ikosaedergraph.

Die Anzahl der Farben, die mindestens nötig ist, um die Knoten eines Graphen so zu färben, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, wird chromatische Zahl genannt (siehe Knotenfärbung). Die entsprechende Zahl für die Kanten nennt man chromatischer Index (siehe Kantenfärbung). Bei den Graphen der platonischen Körpern ist sie gleich dem (maximalen) Knotengrad. Im Zusammenhang mit dem Satz von Vizing werden sie Klasse-1-Graphen genannt.

Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 4 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist. Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph hilfreich. Dieser graphentheoretische Begriff der Dualität ist gewissermaßen eine Analogie oder Verallgemeinerung der geometrischen Dualität von Polyedern (siehe Abschnitt oben).

Die Knoten dieses dualen Graphen werden dabei den Gebieten des ursprünglichen Graphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion). Für den Dodekaedergraphen (siehe Abbildungen) gilt zum Beispiel: Die Knoten des dualen Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 3 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 4 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 4 ist, sind 4 Farben für eine solche Flächenfärbung des Dodekaeders oder eine Färbung der Gebiete des Dodekaedergraphen nötig.

Weitere Eigenschaften:

Einige andere graphentheoretische Eigenschaften sind weniger spektakulär. Alle Graphen der platonische Körper sind reguläre Graphen, weil an jeder Ecke dieser Polyeder die gleiche Anzahl von Kanten zusammentrifft. Der kürzeste Zyklus, die sogenannte Taillenweite, ist gleich der Anzahl der Ecken der Seitenflächen des betreffenden platonischen Körpers. Der graphentheoretische Durchmesser und der graphentheoretischer Radius stimmen überein, weil alle Knoten jeweils graphentheoretisch äquivalent zueinander sind und sich mit Hilfe von Permutationen zusammen mit dem Graphen auf einen isomorphen Graphen abbilden lassen. Daraus folgt, dass alle Knoten dieselbe Exzentrizität haben und sowohl zum Rand als auch zum Zentrum des Graphen gehören.

Hamiltonkreise

Würfelgraph mit Hamiltonkreis.

Alle Graphen der platonische Körper besitzen mehrere Hamiltonkreise. Das ist ein geschlossener Pfad in einem Graphen, der jeden Knoten genau einmal enthält. Beim Würfel und beim Dodekaeder ist das alles andere als offensichtlich. Für das Tetraeder, das dem vollständigen Graphen zugeordnet ist, ist es klar. Für das Oktaeder folgt die Existenz von Hamiltonkreisen aus einem Satz von Gabriel Andrew Dirac, für das Ikosaeder aus einem Satz von William Thomas Tutte (siehe Sätze über Hamiltonkreise). Für die Anzahl der Hamiltonkreise gibt es jedoch keine mathematische Formel und keinen wirklich einfachen Algorithmus. Untersuchungen mit dem Computer zeigen zum Beispiel, dass das Ikosaeder 2560 Hamiltonkreise besitzt.

Eulerkreise:

Die Graphen von Tetraeder, Würfel, Dodekaeder und Ikosaeder besitzen keine Eulerkreise, weil der Grad aller Knoten ungerade ist. Das liegt daran, dass in jeder Ecke dieser Polyeder eine ungerade Anzahl von Kanten zusammentrifft. Das Oktaeder besitzt 1844 Eulerkreise, wie Untersuchungen mit dem Computer zeigen.

Übersicht

Die fünf platonischen Körper	Tetraeder^[4]^[13]	Hexaeder^[5]^[14]	Oktaeder^[6]^[15]	Dodekaeder^[7]^[16]	Ikosaeder^[8]^[17]
Polyeder
zugeordneter regulärer Graph
chromatische Zahl (siehe Knotenfärbung)	4	2	3	3	4
chromatischer Index (siehe Kantenfärbung)	3	3	4	3	5
Anzahl für die Flächenfärbung (siehe dualer Graph)	4	3	2	4	3
Knotengrad (siehe regulärer Graph)	3	3	4	3	5
Knotenzusammenhangszahl	3	3	4	3	5
Kantenzusammenhangszahl	3	3	4	3	5
kürzester Zyklus (Taillenweite)	3	4	3	5	3
graphentheoretischer Durchmesser	1	3	2	5	3
graphentheoretischer Radius	1	3	2	5	3
Cliquenzahl	4	2	3	2	3
Stabilitätszahl	1	4	2	8	3
Anzahl der Hamiltonkreise	6	12	32	60	2560
Anzahl der Eulerkreise	0	0	1488	0	0

Höherdimensionale reguläre Polytope – System-Körper.

3D-Projektion des 24-Zellers Schlegeldiagramm des 24-Zellers.

Der Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli bestimmte 1852 die $n$ -dimensionalen Verwandten der platonischen Körper – allerdings blieb sein Werk lange unbeachtet. Es stellte sich heraus, dass es im vierdimensionalen Raum zu jedem der fünf regulären dreidimensionalen Körper (3-Polytope) eine vierdimensionale Entsprechung, ein reguläres 4-Polytop, gibt: zum Tetraeder den 5-Zeller (Pentachoron), zum Würfel den 8-Zeller (Tesserakt), zum Oktaeder den 24-Zeller (Ikositetrachor), zum Dodekaeder den 120-Zeller (Hekatonikosachor) und zum Ikosaeder den 600-Zeller (Hexakosichor). Dann gibt es noch ein sechstes reguläres 4-Polytop: den 16-Zeller (Hexadekachor).

Im fünfdimensionalen Raum – und auch in allen Räumen höherer Dimension – gibt es statt fünf oder sechs nur noch drei reguläre Polytope: als Simplex das Hypertetraeder, als Maßpolytop den Hyperkubus und als Kreuzpolytop dessen Dual, das Hyperoktaeder.

Geschichte:

Modell des Sonnensystems in Keplers Mysterium Cosmographicum (1596)

Erde

Wasser.

Luft.

Feuer.

Äther / Kosmos.

Zuordnung der platonischen Körper zu den Elementen in Keplers Harmonice mundi.

Die platonischen Körper wurden seit der Antike studiert. Die Pythagoreer (6. Jahrhundert v. Chr.) unterschieden zumindest zwischen Tetraeder, Hexaeder und Dodekaeder. Das Oktaeder wurde möglicherweise noch nicht beachtet, weil es als Doppelpyramide angesehen wurde. Der Athener Theaitetos (415–369 v. Chr.) kannte auch Oktaeder und Ikosaeder. Er bewies, dass es nur fünf konvexe reguläre Polyeder geben kann.

Der griechische Philosoph Platon (ca. 427–347 v. Chr.), ein Zeitgenosse Theaitetos’, wurde der Namensgeber für die fünf Körper. In seinem Werk Timaios (Kap. 20, 53c4–55c6) beschrieb er sie ausführlich. Er band die platonischen Körper in sein philosophisches System ein, indem er sie (ausgenommen Dodekaeder) den vier Elementen zuordnete (Kap. 21, 55c7–56c7): Feuer stand für das Tetraeder, Luft für das Oktaeder. Das Ikosaeder wurde mit Wasser assoziiert, das Hexaeder mit Erde. Das Dodekaeder ließ sich nach dieser Theorie mit dem von Aristoteles postulierten fünften Element Äther gleichsetzen.

Euklid (360–280 v. Chr.) beschrieb die platonischen Körper im XIII. Buch seiner Elemente (§§ 13–17). Darin bewies er unter anderem, dass es genau fünf gibt (§ 18a). Hypsikles nahm im später angefügten „XIV. Buch“ (aus dem 2. Jahrhundert v. Chr.) einige Volumenberechnungen vor. Das „XV. Buch“ (aus dem 6. Jahrhundert n. Chr.) enthielt weitere Entdeckungen griechischer Mathematiker bezüglich der fünf regulären Körper.

Mit dem Aufkommen der Perspektive verarbeiteten mehrere Künstler die platonischen Körper in ihren Werken: Piero della Francesca, Leonardo da Vinci (Illustrationen zu Divina Proportione von Luca Pacioli), Albrecht Dürer, Wenzel Jamnitzer (Perspectiva Corporum Regularium, 1568).

Johannes Kepler gelang es (Mysterium Cosmographicum, 1596), die Bahnradien der sechs damals bekannten Planeten durch eine bestimmte Abfolge der fünf Körper und ihrer Innen- und Außenkugeln darzustellen. Diese Interpretation stimmte weitgehend mit den damals bekannten astronomischen Werten überein, entsprach aber tatsächlich keiner Gesetzmäßigkeit.

Die fünf platonischen Körper als „Würfel“ für Rollenspiele

Die auffällige Regelmäßigkeit macht die platonischen Körper auf vielerlei Art für den Menschen interessant.

Manche platonischen Körper sind Lösungen des Problems von Thomson (nach Joseph John Thomson): Anschaulich gesprochen beschreibt dieses Problem, wie sich n Elektronen auf einer Kugeloberfläche verteilen, sodass die potentielle Energie durch ihr elektrisches Feld minimal wird.
Zusätzlich zum klassischen, geometrischen Würfel, der leicht herzustellen ist und schon seit Jahrtausenden für Glücksspiele verwendet wurde, finden heute auch die anderen platonischen Körper (die ebenfalls als Würfel bezeichnet werden) Anwendung im Spiel, z. B. in Pen-&-Paper-Rollenspielen (siehe Spielwürfel). Die Voraussetzungen dazu sind eine physikalisch gleichmäßige Dichteverteilung – also homogenes Material – sowie die gleichartige Beschaffenheit aller Ecken und Kanten.
Platonische Körper sind seit langem Objekte bildender Künstler. In der modernen Kunst hat sich vor allem M. C. Escher mit ihnen und ihnen ähnlichen regelmäßigen Körpern beschäftigt; auch Werke von Salvador Dalí thematisieren platonische Körper oder ihre Entfaltung.
Platonische Polyeder spielen auch eine wichtige Rolle im Adventure-Spiel The Dig.

Die Dreiecke eines Ikosaeders, auf dem die Schutzhülle des Observatorium Rasad-e Khan basiert, sind rot dargestellt.

Über den Verwendungszweck des römischen Pentagondodekaeders wird bis heute spekuliert.
Rudolf von Laban konkretisierte seine raum-rhythmische Bewegungslehre (Choreutik) vorwiegend im Modell des Ikosaeders.
Im Management von Teams könne man, laut einem Vorschlag von Stafford Beer, die platonischen Körper als Vorbild für Vernetzung bei Konzentration der Mitarbeiter auf ihre Themen verwenden. Jeder Mitarbeiter entspricht einer Kante, jedes Thema einer Ecke eines platonischen Körpers. Zu jedem Thema trifft man sich regelmäßig mit genau den Mitarbeitern, deren Kanten in dieser Themen-Ecke zusammenlaufen. So bearbeitet ein Mitarbeiter maximal zwei Themen gleichzeitig und kann sich gut konzentrieren. Auch bei großen Teams (z. B. Ikosaeder = 30 Mitarbeiter, 5 Mitarbeiter pro Thema, 12 Themen) sei somit gewährleistet, dass Ordnung herrscht. Beers Idee wurde am Managementzentrum Sankt Gallen aufgegriffen und eine darauf beruhende Methode namens Syntegrity vorgeschlagen.^[25]

Auch in der Natur können sich vorhandene Regelmäßigkeiten als platonische Körper ausprägen.

Viren, Bakterien und Keime

Polyedrische Formen, darunter auch platonische Körper der Radiolarien. Illustration von Ernst Haeckel (1834–1919).

Die Anordnung der Wasserstoffatome bspw. im sp³-hybridisierten Methan-Hybridorbital entspricht einem Tetraeder.
Tetraeder, Würfel und Oktaeder kommen in der Natur als (idealisierte) Kristalle vor; dodekaedrische und ikosaedrische Symmetrieelemente finden sich bei Quasikristallen.
Exakte Dodekaeder kommen nicht als Kristalle vor. Kristalle bestimmter Mineralien, wie z. B. Pyrit, die äußerlich wie ein Dodekaeder aussehen, sind keine exakten Pentagondodekaeder, sondern verzerrt. Allerdings ist die Verzerrung mit dem bloßen Auge aus der Entfernung oft nicht wahrzunehmen. Aus der Nähe betrachtet erkennt man jedoch, dass diese Körper nicht aus regelmäßigen (sondern unregelmäßigen) Fünfecken geformt sind. Zum Beispiel bilden Natriumchlorid und Alaun, das beim Ausfällen mit gewissen anderen Stoffen dotiert ist, Würfelkristalle. Reines Alaun kristallisiert als Oktaeder. Dabei ist die Abgrenzung zwischen den einzelnen Formen nicht absolut, sondern die interne Symmetrie kann sich in unterschiedlichen Ausprägungen äußern. In der Mineralogie fallen alle die platonischen Körper Tetraeder, Würfel und Oktaeder sowie Rhombendodekaeder, Kuboktaeder und ihre Mischformen unter den Begriff kubisch. Nicht wenige Mineralien können dementsprechend mehrere dieser kubischen Formen annehmen. Dazu gehört zum Beispiel Pyrit, das sowohl als Würfel als auch als Oktaeder oder, wie oben beschrieben, als verzerrtes Dodekaeder vorkommt.
Platonische Körper, im Speziellen das Ikosaeder, sind sehr häufig Strukturformen, wie sie bei Clustern (also kleinen Nanoteilchen) beobachtet werden.
Einige der platonischen Körper werden von organischen Kohlenwasserstoffmolekülen gebildet (siehe platonische Kohlenwasserstoffe).
Das Dodekaeder ist die kleinste mögliche Form der als Fullerene bezeichneten hohlen Kohlenstoffmoleküle.
Das Proteinkapsid von Viren kann unterschiedliche Formen haben, zum Beispiel ikosaederförmig.
Die Kalkskelette der Radiolarien haben sehr verschiedene Formen, darunter auch platonische Körper.

Blume des Lebens – vollständig.

Blume des Lebens und Heilige Geometrie.

Alles dreht sich für UNS um SECHS (S.E.X.), FREUDE, GÜTE, Entschlossenheit, Impuls, Balance, Toleranz, Lücke, Gesundheit, ReEvolution, Oktave, Ordnung, Ernährung, Sorgfalt, Loyalität, Niveau, Qualität, Profitum, Sorgfalt, Gefahren, Mut, Disziplin, Versöhnung, Spiegel, Fügung, LICHT, LIEBE, LUST, SORGE, Laune, Opfer, Details, „Blinder Fleck“, Reife, Filter, Unternehmertum, Mischung und GELD, dem universellen Energie-Austausch-Mittel auf allen Ebenen der irdischen Freude. Die Außenwelt ist eine Reflexion der inneren Welt, dies es gilt, professionell in Einklang zu bringen, wie beim Theater oder im Film.

ZEIT – GELD – E-Motionen – Unterweisung – Erziehung – Bildung: Wille – Oktave – Loyalität – Sehnsucht – Spannung/Druck – Triebfeder – GÜTE – Atmosphäre – Gefahr – Tod – Motivation – Filter – Forschung – Disziplin – Gut, Richtig und Genau, Opfer – Kummer – Gewissen -, in Verbindung mit Fehlen – Lücke – Irrtum – Fehler – Assoziationen – Neugier – Ethik – Stoffwechsel – Reife – Entschlossenheit und Versöhnung, um das gesamte Immun-System immerwährend dynamisch zu stärken.

Auf diese Art und Weise entsteht ein authentischen Leben. Gefühlt – Geprüft – Gedacht, Geprüft, Geplant – Geprüft – Gesagt – Geprüft – Getan – Geprüft – Geeicht – Geprüft – Gekonnt – Vollendung – Gelingen, ist die Basis, verbunden mit der Triebfeder, Bedeutsamkeit, Loyalität, Sorgfalt, Courage und Charakter (das Nein zur rechten Zeit), sind die Treiber zu Profi-Profitum, Identität und zur Authentizität.

Aus Diversität für sich, im Kontext der „Goldenen Regel“, das Einzigartige schaffen und damit dem eigenen Schöpfung-Wandel und seinen Werten verpflichtet sein.

Fingerabdruck und DNA sind von Geburt an einzigartig. Zur Marke wird der Mensch durch innere Arbeit. Unterweisung – Erziehung – Charakter-Bildung – Forschung, um das Identität-Immun-System dynamisch zu stärken, für inneren Charakter, Stolz, Authentizität, Vollendungsdrang und Vervollkommnung im Leben.

Gefahr – Widerstand-Immun-Balance, Lüge und ein situationselastisches System, des sich Stellens, ermöglicht ein Leben mit innerem Stolz in Balance. Elektrizität, Gesundheit, GELD und Design,
sind die tragenden Säulen. Es braucht eine immerwährende systemische ReEvolution in Mensch und System-Schwarm-Intelligenz durch professionelle Reflektion. Neugier-, Ethik-, GÜTE-, Emergenz-,
Lücke – Irrtum-, Fehler-, Opfer-, Versöhnung-, Detail-, Demut-, Disziplin-, Takt–, Präzision-, Genauigkeit-, Gewissen-, Regie-, Reife– und Statik–Prüfung, führt zum gesunden Narzissmus und Hedonismus, dem Profitum, die OeHu-Benchmark, die Meteorologie.

Der universelle Logos-Ansatz, dem OekoHuman folgt, ist ein sozial-systemischer Prozeß von „Stirb und Werde“, den Josef Schumpeter „schöpferische Zerstörung“ und Neu-Schöpfung nannte.
Gewissermaßen ein universelles Perpetuum mobile zur Erhaltung des Lebens bzw. ein immerwährender, über das Leben stattfindender Über-Lebensprozeß.
Schwarze und weiße Löcher weisen auf einen solchen Prozeß wohl tatsächlich hin.
Der Psycho-Logo-OekoHuman-Grund-Ansatz: Drei Worte und das Goldene Regel System, welches richtige, gute und konstruktive Wahrnehmung und Gewohnheiten bei Jedem hervorrufen kann,
der sich gewohnheitsmäßig täglich darum bemüht.
Auf diese Weise werden die beiden Ansätze mit dem Körper-Logos-Ansatz energetisch verbunden. OekoHuman hat diese DREI grundsätzlichen Prozeße, in einen Gesamt-Prozeß zusammengeführt,
da dies dem universellem Analogie-Prinzip am nächsten kommt.
So ist die OekoHuman-Profession – HOLISTIK, Soziale-System-Theorie nach Luhmann, Kybernetik, Konstruktivismus und Profi-Profitum.

Takt – Oktave – Timing – Ethik mit GÜTE und innere Statik stärkt Gewissen und Intuition. Damit sind die wesentlichen Eckpfeiler genannt. Dies ist als Gesamtkonzept erlernbar,
um Logos, Psycho-Logos und Gesetz-Mäßigkeiten, motivierend, mitfühlen, empfinden und spüren bis zum Lebensende täglich zu befruchten.
Dieses Gesamt-Konzept führt zur dynamischen Meisterschaft im Leben heißt sich aus Gefühl und Denkgefängnisse befreien. Die praktisch logische Folge ist TUN im Kontext
von universeller Mechanik und ist eng mit dem Prinzip vom LEBENS LANGEM LERNEN verbunden. Partkdolg-Pflicht (Duty) und KAIZEN, sind die maßgeblichen Werkzeuge,
um dieser Herausforderung gerecht zu werden. Der Weg zum Ziel mag für den ein oder Anderen steinig sein, doch GÜTE, Gesundheit, Freiheit und Frieden, ist aller Mühen Wert,
davon ist OekoHuman überzeugt und dies versteht OekoHuman unter richtiger und guter Nachhaltigkeit. Siehe Persönlichkeiten, denen wir wertvolle Konzept-Impulse verdanken.

Der universelle Logos-Ansatz, dem OekoHuman folgt, ist ein sozial-systemischer Prozeß von „Stirb und Werde“, den Josef Schumpeter „schöpferische Zerstörung“ und Neu-Schöpfung nannte. Gewissermaßen ein universelles Perpetuum mobile zur Erhaltung des Lebens bzw. ein immerwährender, über das Leben stattfindender Über-Lebensprozeß. Schwarze Löcher, weisen auf einen solchen Prozeß wohl tatsächlich hin.
Der Psycho-Logo-OekoHuman-Grund-Ansatz: Drei Worte und das Goldene Regel System, welches richtige, gute und konstruktive Wahrnehmung und Gewohnheiten bei Jedem hervorrufen kann, der sich gewohnheitsmäßig täglich darum bemüht.
Auf diese Weise werden die beiden Ansätze mit dem Körper-Logos-Ansatz energetisch verbunden. OekoHuman hat diese DREI grundsätzlichen Prozeße, in einen Gesamt-Prozeß zusammengeführt, da dies dem universellem Analogie-Prinzip am nächsten kommt.
So ist die OekoHuman-Profession – HOLISTIK, Soziale-System-Theorie nach Luhmann, Kybernetik, Konstruktivismus und Profi-Profitum.

Takt – Oktave – Timing – Ethik mit GÜTE und innere Statik stärkt Gewissen und Intuition. Damit sind die wesentlichen Eckpfeiler genannt. Dies ist als Gesamtkonzept erlernbar, um Logos, Psycho-Logos und Gesetz-Mäßigkeiten, motivierend, mitfühlen, empfinden und spüren bis zum Lebensende täglich zu befruchten. Dieses Gesamt-Konzept führt zur dynamischen Meisterschaft im Leben. Die praktisch logische Folge heißt TUN im Kontext von universeller Mechanik, und ist eng mit dem Prinzip vom LEBENS LANGEM LERNEN verbunden. Partkdolg-Pflicht (Duty) und KAIZEN, sind die maßgeblichen Werkzeuge, um dieser Herausforderung gerecht zu werden. Der Weg zum Ziel mag für den ein oder Anderen steinig sein, doch GÜTE, Gesundheit, Freiheit und Frieden, ist aller Mühen Wert, davon ist OekoHuman überzeugt und dies versteht OekoHuman unter richtiger und guter Nachhaltigkeit. Siehe Persönlichkeiten, denen wir wertvolle Konzept-Impulse verdanken.

Grundlagen:
GESUNDHEIT – GÜTE – GELD – GEOMETRIE – HOLISTIK sind HEILIG und werden von der Goldene Regel genährt. Logos – Takt – Oktave – Timing – Ethik – Gewissen – Weisheit – Vernunft – System – Statik – Neugier – SIEBEN – Relativität – Elektrizität–Strom – Profi-Profitum – Öko – Mühe – Reflektion – S.E.X., sind die zentralsten Begriffe im OekoHuman – GÜTE-Holistik-Know-Zentrum.
Sie sind eine Regie-Empfehlung mit Sinn, und Dynamik, bis zur persönlichen Meisterschaft im Leben, gebunden an ein freudvolles – langes Leben mit Innenschau – Mission – Vision – Außenschau und dem Motto: die individuelle Mischung macht`s und der Durchschnitt bestimmt das Gelingen.

Start:
Wer bin ICH und Wer will ICH SEIN – Status-Quo – Lagebeurteilung.

Basis:
Mensch – Talent – Anamnesis – Hermetik – Gewissen – Wahrheit – Einstellung – Hermeneutik Source-Code – GÜTE – TUN – Nahrung-Ernährung – Strom –Vernunft – Controlling – Profitum – Loyalität – Wundern – Buddy-System – Anpassungsfähigkeit

Potential-Entfaltung:
Kraft – Stärke – Wille – Disziplin – Regie – Toleranz – Resilienz – Volition – Authentizität – Wettbewerb– und Widerstands-Fähigkeit – Know-How – Marke

Umsetzung:
LIEBE – Mut – Mühe – Ritual – MACHT – Partkdolg-Pflicht (Duty) – KAIZEN – Know-How – schöpferische Zerstörung – die Mischung macht`s – Entscheidung – Wirksamkeit durch Profi-Profitum.
Fallen:
Wahrnehmung – Gewohnheiten – Bequemlichkeit – Glaubenssätze – Denkgefängnisse – Verschlimmbesserung – Projektion – Kausalität – Komfortzone – Durchhaltevermögen – Wechselwirkung – Wirkzusammenhänge – Konkurrenz – Kredit

Weg:
Profi-Profitum – Haltung – TON – Resonanz – Horchen – Erziehung – Unterweisung – Widerstand – Statik –Durchsetzung – Bildung – Vollendung

Angebote:
TUN-Studium – Talent-Unternehmer-Studium– Aus- und Weiterbildung – Projekte – Profi-Profitum als praktische Umsetzung – Unternehmer-Privat-Sekretär

Ziele:
Fokussierung – Autonomie – Gesundheit – Klima – Kultur – Respekt – Würde – Gelingen – ReEvolution TUN – dynamischer Schöpfungs-Prozeß, „wer rastet der rostet“, Profi-Profitum

Resultate:
Reife – Ordnung – Takt – TUN – Niveau – Qualität – Weisheit – Frieden – dynamischer Horizont – ewiger Schöpfungs-Prozeß – Freiheit – Nachhaltigkeit – Geltung.

weitere Stichworte:
Universal-Prinzipien-Gesetz-Mäßigkeiten – Glaube – Hoffnung – Dienen mit Demut – Lernen – Anstrengung – Charakter-Design – Konsequenz – Kompatibilität – ERP – Hidden-Champions – Entrepreneur – Prävention – Veredelung – Ästhetik – Quintessenz – Unternehmer-Privat-Sekretär.
Die zentrale Seite und Navigation, ist das OekoHuman-Wiki, hier sind noch nicht alle Seiten gefüllt – Gründe: Zeit – Strategie – Taktik – Reihenfolge.

Physik – Chemie – Biologie – Meteorologie – Quantität – Gravitation Levitation – Abstoß-Kräfte Magnetismus – Entropie / II – Wort – Balance – Holismus – Trinität – Daten – Denken – Gefühle – Gut – Filtern/Sieben – Güter – Geld – Nachhaltigkeit – Kultur – Rhythmus – Entsprechung–Ähnlichkeit–II – Analogie–II – Homöopathie – Klang – Hermetische Prinzipien – Anpassungs-Fähigkeit.